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# SymPy 核心能力 本文档涵盖了 SymPy 的基础操作：符号计算基础、代数、微积分、简化和方程求解。 ## 创建符号与基本运算 ### 符号创建 **单个符号：** python from sympy import symbols, Symbol x = Symbol('x') # 或更常用的方式： x, y, z = symbols('x y z') **带假设条件：** python x = symbols('x', real=True, positive=True) n = symbols('n', integer=True) 常见假设：`real`（实数）, `positive`（正数）, `negative`（负数）, `integer`（整数）, `rational`（有理数）, `prime`（素数）, `even`（偶数）, `odd`（奇数）, `complex`（复数） ### 基本算术 SymPy 支持标准的 Python 运算符进行符号表达式运算： - 加法：`x + y` - 减法：`x - y` - 乘法：`x * y` - 除法：`x / y` - 幂运算：`x**y` **重要提示：** 使用 `sympy.Rational()` 或 `S()` 来处理精确的有理数： python from sympy import Rational, S expr = Rational(1, 2) * x # 正确：精确的 1/2 expr = S(1)/2 * x # 正确：精确的 1/2 expr = 0.5 * x # 创建浮点近似值 ### 替换与求值 **替换值：** python expr = x**2 + 2*x + 1 expr.subs(x, 3) # 返回 16 expr.subs({x: 2, y: 3}) # 多重替换 **数值求值：** python from sympy import pi, sqrt expr = sqrt(8) expr.evalf() # 2.82842712474619 expr.evalf(20) # 2.8284271247461900976 (20 位精度) pi.evalf(100) # pi 的 100 位精度 ## 简化 SymPy 提供了多种简化函数，每种函数采用不同的策略： ### 通用简化 python from sympy import simplify, expand, factor, collect, cancel, trigsimp # 通用简化（尝试多种方法） simplify(sin(x)**2 + cos(x)**2) # 返回 1 # 展开乘积和幂 expand((x + 1)**3) # x**3 + 3*x**2 + 3*x + 1 # 多项式因式分解 factor(x**3 - x**2 + x - 1) # (x - 1)*(x**2 + 1) # 按变量合并同类项 collect(x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3, x) # 取消有理表达式中的公因子 cancel((x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x)) # (x + 1)/x ### 三角函数简化 python from sympy import sin, cos, tan, trigsimp, expand_trig # 简化三角表达式 trigsimp(sin(x)**2 + cos(x)**2) # 1 trigsimp(sin(x)/cos(x)) # tan(x) # 展开三角函数 expand_trig(sin(x + y)) # sin(x)*cos(y) + sin(y)*cos(x) ### 幂与对数简化 python from sympy import powsimp, powdenest, log, expand_log, logcom