glm

# 广义线性模型 (GLM) 参考 本文档提供了 statsmodels 中广义线性模型的全面指南，包括分布族、连接函数及应用。 ## 概述 GLM 通过以下方式将线性回归扩展到非正态响应分布： 1. **分布族 (Distribution family)**：指定响应的条件分布 2. **连接函数 (Link function)**：将线性预测变量转换为均值尺度 3. **方差函数 (Variance function)**：关联方差与均值 **一般形式**：g(μ) = Xβ，其中 g 是连接函数，μ = E(Y|X) ## 何时使用 GLM - **二元结果**：逻辑回归（二项分布族配合 logit 连接） - **计数数据**：泊松或负二项回归 - **正连续数据**：Gamma 或逆高斯分布 - **非正态分布**：当违反 OLS 假设时 - **连接函数**：当预测变量与响应尺度之间存在非线性关系时 ## 分布族 ### 二项分布族 (Binomial Family) 用于二元结果 (0/1) 或比例 (k/n)。 **何时使用：** - 二元分类 - 成功/失败结果 - 比例或比率 **常用连接函数：** - Logit (默认): log(μ/(1-μ)) - Probit: Φ⁻¹(μ) - Log: log(μ) python import statsmodels.api as sm import statsmodels.formula.api as smf # 二元逻辑回归 model = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Binomial()) results = model.fit() # 公式 API results = smf.glm('success ~ x1 + x2', data=df, family=sm.families.Binomial()).fit() # 获取预测 (概率) probs = results.predict(X_new) # 分类 (0.5 阈值) predictions = (probs > 0.5).astype(int) **解释：** python import numpy as np # 优势比 (针对 logit 连接) odds_ratios = np.exp(results.params) print("优势比:", odds_ratios) # x 每增加 1 个单位，优势乘以 exp(beta) ### 泊松分布族 (Poisson Family) 用于计数数据（非负整数）。 **何时使用：** - 计数结果（事件数量） - 稀有事件 - 比率建模（带偏移量 offset） **常用连接函数：** - Log (默认): log(μ) - Identity: μ - Sqrt: √μ python # 泊松回归 model = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Poisson()) results = model.fit() # 带暴露量/偏移量用于比率建模 # 若建模 rate = counts/exposure model = sm.GLM(y, X, family=sm.families.Poisson(), offset=np.log(exposure)) results = model.fit() # 解释: exp(beta) = 对预期计数的乘法效应 import numpy as np rate_ratios = np.exp(result