matrices-linear-algebra

# SymPy 矩阵与线性代数 本文档涵盖了 SymPy 的矩阵运算、线性代数功能以及线性方程组的求解。 ## 矩阵创建 ### 基本矩阵构造 python from sympy import Matrix, eye, zeros, ones, diag # 从行列表创建 M = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) M = Matrix([ [1, 2, 3], [4, 5, 6] ]) # 列向量 v = Matrix([1, 2, 3]) # 行向量 v = Matrix([[1, 2, 3]]) ### 特殊矩阵 python # 单位矩阵 I = eye(3) # 3x3 单位矩阵 # [[1, 0, 0], # [0, 1, 0], # [0, 0, 1]] # 零矩阵 Z = zeros(2, 3) # 2 行 3 列的零矩阵 # 全 1 矩阵 O = ones(3, 2) # 3 行 2 列的全 1 矩阵 # 对角矩阵 D = diag(1, 2, 3) # [[1, 0, 0], # [0, 2, 0], # [0, 0, 3]] # 分块对角矩阵 from sympy import BlockDiagMatrix A = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) B = Matrix([[5, 6], [7, 8]]) BD = BlockDiagMatrix(A, B) ## 矩阵属性与访问 ### 形状与维度 python M = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) M.shape # (2, 3) - 返回元组 (行, 列) M.rows # 2 M.cols # 3 ### 访问元素 python M = Matrix([[1, 2, 3], [4, 5, 6]]) # 单个元素 M[0, 0] # 1 (从 0 开始索引) M[1, 2] # 6 # 行访问 M[0, :] # Matrix([[1, 2, 3]]) M.row(0) # 同上 # 列访问 M[:, 1] # Matrix([[2], [5]]) M.col(1) # 同上 # 切片 M[0:2, 0:2] # 左上角 2x2 子矩阵 ### 修改 python M = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) # 插入行 M = M.row_insert(1, Matrix([[5, 6]])) # [[1, 2], # [5, 6], # [3, 4]] # 插入列 M = M.col_insert(1, Matrix([7, 8])) # 删除行 M = M.row_del(0) # 删除列 M = M.col_del(1) ## 基本矩阵运算 ### 算术运算 python from sympy import Matrix A = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) B = Matrix([[5, 6], [7, 8]]) # 加法 C = A + B # 减法 C = A - B # 标量乘法 C = 2 * A # 矩阵乘法 C = A * B # 逐元素乘法 (Hadamard 积) C = A.multiply_elementwise(B) # 幂运算 C = A**2 # 等同于 A * A C = A**3 # A * A * A ### 转置与共轭 python M = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) # 转置 M.T # [[1, 3], # [2, 4]] # 共轭 (用于复数矩阵) M.conjugate() # 共轭转置 (Hermitian 转置) M.H # 等同于 M.conjugate().T ### 逆矩阵 python M = Matrix([[1, 2], [3, 4]]) # 逆矩阵 M_inv = M**-1 M_inv = M.inv() # 验证 M * M_inv # 返回单位矩阵 # 检查是否可逆 M.is_invert